DERIVADAS

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio La derivada de una función

4.2 La interpretación geométrica de la derivada

4.3 Concepto de diferencial Interpretación geométrica de las diferenciales

4.4 Propiedades de la derivada

4.5 Regla de la cadena

4.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación

4.7 Derivadas de orden superior y regla L Hopital

4.8 Derivada de funciones implícitas

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio La derivada de una función

INCREMENTO:

Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

RAZON DE CAMBIO:

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

El volumen de un globo mientras se infla

La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada. La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así:

¨Q¨ es creciente en el instante t si

¨Q¨ es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente.

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

Interpretación geométrica de la derivada cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x,

por tanto su pendiente es m = 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

4.2 La interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

Ejemplos:

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x

por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

f'(1) = f'(2)

f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3

f'(1) = 3b2 + 2b + 3

f'(2) = 12b2 + 4b + 3

3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3

9b2 + 2b = 0

b = 0 b = −2/9

Interpretación física de la derivada

Velocidad media. La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Ejemplos:

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

4.3 Concepto de diferencial Interpretación geométrica de las diferenciales

En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del cambio en la linealización de unafunción y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definido por la expresión como si la derivada dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx. Se puede también expresar como el significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matematicas rigurosas modernas, las cantidades dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación geométrica particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significancia analítica si el diferencial es considerado como una aproximación lineal del incremento de la función. En aplicaciones físicas, a menudo se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Definición

El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.1 El diferencial de una funciónƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos:

ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad se mantiene.

Interpretación geométrica del diferencial

Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto.

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión. Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por ¨y

4.4 Propiedades de la derivada

Derivada una función constante

La derivada de una función constante es cero.

Ejemplo

Si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 1, \, \forall x \in \mathbb{R}$ , entonces

$\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}$

Derivada de una suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:

Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:

$\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right)^\prime = \mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime$

Derivada de una diferencia de funciones

La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:

Ejemplo

$\left( <pre> \, x^2 - x \, </pre> \right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime - \left( \, x \, \right)^\prime = 2x - 1$

Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones, $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ , viene dada por la fórmula:

Ejemplo

$\left( <pre> \, x^2 \cdot x \, </pre> \right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot x + x^2 \cdot \left( \, x \, \right)^\prime = 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2$

Observese que $x^2 \cdot x = x^3$ y que la derivada de $x^3$ es precisamente $3x^2$ .

Derivada de un cociente de funciones

La derivada del cociente $\frac{f}{g}$ viene dada por la fórmula:

Ejemplo

$\left( <pre> \, \frac{x^2}{e^x} \, </pre> \right) ^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left(, e^x \, \right)^2} = <pre>\frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} </pre> $

4.5 Regla de la cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla:En términos intuitivos, cola si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica:En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si

f\,

es diferenciable en

x\,

g\,

es una función diferenciable en

f(x)\,

, entonces la función compuesta

(g \circ f)(x) = g(f(x))

es diferenciable en

x\,

(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)

Notación de Leibniz:

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

\frac {dg}{dx} = \frac {dg} {df} \frac {df}{dx}

donde

\frac {dg} {df}

indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de la cadena

h\left(x\right) = \left(f \circ g\right)\left(x\right).

Esto es entonces

h\left(x\right) = f\left(g\left(x\right)\right).

Aplicando la definición de derivada se tiene

\frac {\text{d}h}{\text{d}x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}.

Donde queda

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}.

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre

g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)

(esta demostración solo vale cuando

g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)

es distinto de cero , por ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}.

= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{\Delta x}.

= \frac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\frac{\text{d}g}{\text{d}x}.

cqd

Ejemplos de aplicación
Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraico:

Por ejemplo si

y = f (u)

es una función derivable de

u

y si además

u=g(x)

es una función derivable de

x

entonces

y=f(g(x))

es una función derivable con:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

o también

\frac{d}{dx} [f(g(x))]=f '(g(x))\cdot g'(x)

Ejemplo 1

y = \ln {u} \,

y queremos calcular:

u = \cos {x} \,

\frac{dy}{dx} \,

Por un lado tenemos:

\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,

\frac{du}{dx} = - \sin{x} \,

si:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

entonces:

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}

Si definimos como función de función:

y = \ln {u} \,

u = \cos {x} \,

resulta que:

y = \ln ({\cos {x}}) \,

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}

con el mismo resultado.

Ejemplo 2

Tenemos

f(x)=9\sin^{16}\left(\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\right)

la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

y = 9a; a=b^{16}; b=\sin c; c=\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}

, cuyas derivadas serían:

y' = 9; a' = 16b^{15}; b'=\cos c; c'=\frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Con la regla de la cadena, esto sería:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{da}\cdot\frac{da}{db}\cdot\frac{db}{dc}\cdot\frac{dc}{dx}

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

\frac{dy}{dx}=y'\cdot a'\cdot b'\cdot c'

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16b^{15}\cdot \cos c\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16\sin^{15}c \cdot \cos c\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Y luego se obtiene la derivada.

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16\sin^{15} \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8} \cdot \cos \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Derivadas de orden superior:

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}

\frac{d^2 f}{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}

\frac{d^3 f}{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}

\frac{d^4 f}{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}

4.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación

Formulas de Derivación

I dc = 0

La derivada de una constante es cero
II dx = 1

La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.

III d ( u + v – w ) = du + dv - dw

La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones
IV d ( cv ) =c. dv

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función
V d (uv) = u dv + v du

La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.
VI d (un) = nun-1 du

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.
VIa d (xn ) = nxn - 1

Cuando v = x se convierte en la expresion anterior
VII d ( uv ) = v.du - u.dv.

v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador
VIIa d ( u/c ) = du/ c

La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida por la constante

'Fórmulas de Integración y Diferenciación'

'Fórmulas de Integración y Diferenciación'

Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.

En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como

, también se puede expresar así:

Derivada del logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implícitas

4.7 Derivadas de orden superior y regla L Hopital

Derivadas de orden superior

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Notación

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Regla de L'Hôpital

, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe límite

este límite coincide con

La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:

Ejemplos

Indeterminación infinito menos infinito

Indeterminación cero por infinito

Indeterminaciones

En las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos

Ejercicios

Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

4.8 Derivada de funciones implícitas

Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícita

definida mediante la ecuación

puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

, siempre que

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables